如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $B(4,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $\mathit{BC}$ ．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}+3$ 经过点 $A$ ，点 $P$ 为直线 $l$ 上的一个动点，且位于 $x$ 轴的上方，点 $Q$ 为抛物线上的一个动点，当 $\mathit{PQ}//y$ 轴时，作 $\mathit{QM}\perp \mathit{PQ}$ ，交抛物线于点 $M$ （点 $M$ 在点 $Q$ 的右侧），以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为邻边构造矩形 $\mathit{PQMN}$ ，求该矩形周长的最小值；

（3）如图3，设抛物线的顶点为 $D$ ，在（2）的条件下，当矩形 $\mathit{PQMN}$ 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点 $F$ ，使得 $\angle \mathit{CBF}=\angle \mathit{DQM}$ ？若存在，请求出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

科目 数学   题型 解答题   难度 困难

知识点： 二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 二次函数综合题