计算：(π1)084sin45°．-优题课

如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，记 $△ C O D$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O B$ 的面积为 $S_{2}$ ．

（1）问题解决：如图①，若 $A B ∥ C D$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{OC \cdot OD}{OA \cdot OB}$

（2）探索推广：如图②，若 $A B$ 与 $C D$ 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在 $O A$ 上取一点 $E$ ，使 $O E ＝ O C$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ C D$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，点 $H$ 为 $A B$ 的中点， $O H$ 交 $E F$ 于点 $G$ ，且 $O G ＝ 2 G H$ ，若 $\frac{OE}{OA} = \frac{5}{6}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 值．

为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为 $4$ 千元/吨时，每天可售出 $12$ 吨，每吨涨 $1$ 千元，每天销量将减少 $2$ 吨，据测算，每吨平均投入成本 $2$ 千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 $4$ 千元，不高于 $5.5$ 千元．请解答以下问题：

（1）求每天销量 $y$ （吨）与批发价 $x$ （千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？

如图， $D$ 是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ D E$ 交 $A D$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）求证： $A B ＝ C B$ ；

（2）若 $A B ＝ 18$ ， $\sin A = \frac{1}{3}$ ，求 $E F$ 的长．

为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面 $C 、 D$ 两处实地测量，如图所示．在 $C$ 处测得桥墩顶部 $A$ 处的仰角为 $60 °$ 和桥墩底部 $B$ 处的俯角为 $40 °$ ，在 $D$ 处测得桥墩顶部 $A$ 处的仰角为 $30 °$ ，测得 $C 、 D$ 两点之间的距离为 $80 m$ ，直线 $A B 、 C D$ 在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩 $A B$ 的高度．（结果保留整数，参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64 ， \cos 40 ° \approx 0.77 ， \tan 40 ° \approx 0.84$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩 $280$ 万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了 $40 %$ ．结果刚好提前 $2$ 天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？