某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段-优题课

某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

（1）如图1，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别是 $AB$ ， $AD$ 上的两点，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ，则 $\frac{DE}{CF}$ 的值为　　；

（2）如图2，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 7$ ， $CD = 4$ ，点 $E$ 是 $AD$ 上的一点，连接 $CE$ ， $BD$ ，且 $CE ⊥ BD$ ，则 $\frac{CE}{BD}$ 的值为　　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ，点 $E$ 为 $AB$ 上一点，连接 $DE$ ，过点 $C$ 作 $DE$ 的垂线交 $ED$ 的延长线于点 $G$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $DE \cdot AB = CF \cdot AD$ ；

【拓展延伸】

（4）如图4，在 $Rt Δ ABD$ 中， $∠ BAD = 90 °$ ， $AD = 9$ ， $\tan ∠ ADB = \frac{1}{3}$ ，将 $ΔABD$ 沿 $BD$ 翻折，点 $A$ 落在点 $C$ 处得 $ΔCBD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $AB$ ， $AD$ 上，连接 $DE$ ， $CF$ ， $DE ⊥ CF$ ．

①求 $\frac{DE}{CF}$ 的值；

②连接 $BF$ ，若 $AE = 1$ ，写出 $BF$ 的长度．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：相似三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质