A、B、C三个班共有 100 名学生, 为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生 一周的锻炼时间, 数据如下表（单位：小时);
A 班 |
|
7 |
|
|||||
B 班 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
C 班 |
3 |
|
6 |
|
9 |
|
12 |
|
（1）试估计 C 班的学生人数;
(2) 从 A 班和 班抽出的学生中, 各随机选取一人， 班选出的人记为甲, 班选出的人记 为乙, 假设所有学生的锻炼时间相对独立, 求该周甲的锻炼时间比乙的钗炼时间长的概率;
(3) 再从 A、B、C三个班中各随机抽取一名学生, 他们该周的锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 (单位：小时), 这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 , 表格中数据的平均数记为 , 试判断 和 的大小, (结论不要求证明）
已知数列
的前
项和为
，点
在直线
上，数列
满足：
，且
，前9项和为153．
（1）求数列
的通项公式；
（2）设
，数列
的前项和为
，求使不等式
对一切
都成立的最大正整数
的值；
（3）设
，
，问是否存在
，使得
是公比为5的等比数列中的两项，且
．若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，方程为
的圆
的内接四边形
的对角线
互相垂直，且分别在
轴和
轴上．
（1）若四边形的面积为40，对角线
的长为8，
，且
为锐角，求圆的方程，并求出
的坐标；
（2）设四边形的一条边
的中点为
，
，且垂足为
，试用平面解析几何的研究方法判断点
是否共线，并说明理由．
某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，
长要超过4米（不含4米），
为的中点，
到
的距离比
的长小1米，
（1）若
，将支架的总长度表示为
的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段、
和的长度之和）
（2）如何设计、的长，可使支架总长度最短．
如图
于
，
，
，
分别为
的中点，若
（1）求证：
；
（2）求
的长．
锐角
中，角
的对边分别是
，已知
，
（1）求
的值；
（2）当
时，求
的长及的面积．