某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．-优题课

题文

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

科目数学题型解答题难度中等

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在直角坐标系 $x O y$ 中,曲线 $C_{1} : \{\begin{cases} x = t \cos α \\ y = t \sin α \end{cases}$ ( $t$ 为参数， $t \neq 0$ ),其中 $0 \leq α < π$ ，在以 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 $C_{2} : ρ = 2 \sin θ$ ,曲线 $C_{3} : ρ = 2 \sqrt{3} \cos θ$ ．
（Ⅰ）求 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 相交于点 $A$ ， $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 相交于点 $B$ ，求 $|A B|$ 的最大值．

选修4-1：几何证明选讲
如图， $O$ 为等腰三角形 $A B C$ 内一点，圆 $O$ 与 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点与底边上的高 $A D$ 交于点 $G$ ，与 $A B$ 、 $A C$ 分别相切于 $E$ 、 $F$ 两点．

（Ⅰ）证明： $E F ∥ B C$ ；
（Ⅱ）若 $A G$ 等于 $⊙ O$ 的半径，且 $A E = M N = 2 \sqrt{3}$ ，求四边形 $E B C F$ 的面积．

设函数 $f (x) = e^{m x} + x^{2} - m x$ ．
（Ⅰ）证明： $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 单调递减，在 $(0, + \infty)$ 单调递增；
（Ⅱ）若对于任意 $x_{1}, x_{2} \in [- 1, 1]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq e - 1$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知椭圆 $C : 9 x^{2} + y^{2} = m^{2} (m > 0)$ ,直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴， $l$ 与 $C$ 有两个交点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ．
（Ⅰ）证明：直线 $O M$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若 $l$ 过点 $(\frac{m}{3}, m)$ ，延长线段 $O M$ 与 $C$ 交于点 $P$ ，四边形 $O A P B$ 能否为平行四边形？若能，求此时 $l$ 的斜率，若不能，说明理由．

如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B = 16, B C = 10, A A_{1} = 8$ ,点 $E, F$ 分别在 $A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$ 上, $A_{1} E = D_{1} F = 4$ .过点 $E, F$ 的平面 $α$ 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线 $A F$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值．

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