数列,，求数列前项和-优题课

设数列 $\{a n\} (n ＝ 1, 2, 3 \dots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{3}$ ,且 $a_{1}, a_{2} ＋ 1, a_{3}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ,求 $T_{n}$ .

已知函数 $f (x) = - 2 (x + a) \ln x + x^{2} - 2 a x - 2 a^{2} + a$ ，其中 $a > 0$ .
（1）设 $g (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，评论 $g (x)$ 的单调性；
（2）证明：存在 $a \in (0, 1)$ ，使得 $f (x) \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内恒成立，且 $f (x) = 0$ 在 $(1, + \infty)$ 内有唯一解.

如图，椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $P (0, 1)$ 的动直线 $l$ 与椭圆相交于 $A, B$ 两点，当直线 $l$ 平行与 $x$ 轴时，直线 $l$ 被椭圆 $E$ 截得的线段长为 $2 \sqrt{2}$ .

（1）求椭圆 $E$ 的方程；
（2）在平面直角坐标系 $x O y$ 中，是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$ ，使得 $\frac{|Q A|}{|Q B|} = \frac{|P A|}{|P B|}$ 恒成立？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

如图， $A, B, C, D$ 为平面四边形 $A B C D$ 的四个内角.

（1）证明： $\tan \frac{A}{2} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}$ ,

（2）若 $A + C = 180^{°}, A B = 6, B C = 3, C D = 4, A D = 5$ 求 $\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{D}{2}$ 的值.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设 $B C$ 的中点为 $M$ ， $G H$ 的中点为 $N$

（1）请将字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（2）证明：直线 $M N ∥$ 平面 $B D H$

（3）求二面角 $A - E G - M$ 的余弦值