（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）为了-优题课

题文

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）
为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡。.
（1）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
（2）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：随机抽样

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设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} \dots$ 中的每一项都不为0.
证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列的充分必要条件是：对任何 $n \in N$ ，都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = \frac{n}{a_{_{1}} a_{n - 1}}$ .

已知椭圆 $E$ 经过点 $A (2, 3)$ ，对称轴为坐标轴，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。

(Ⅰ)求椭圆 $E$ 的方程；
(Ⅱ)求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；
(Ⅲ)在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F / / A B$ ， $E F ⊥ F B$ ， $A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90^{°}$ ， $B F = F C$ ， $H$ 为 $B C$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $F H$ ∥平面 $E D B$ ；
(Ⅱ)求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ ；
(Ⅲ)求二面角 $B - D E - C$ 的大小。

设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + 2 a, x \in R$ 。
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时， $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ 。

设 $△ A B C$ 是锐角三角形， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对边长，并且 $\sin^{2} A = \sin (\frac{π}{3} + B) \sin (\frac{π}{3} - B) + \sin^{2} B$ ，

(Ⅰ)求角 $A$ 的值；

(Ⅱ)若 $\overset{⇀}{A B \cdot} \overset{⇀}{A C} = 12$ , $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $b, c$ (其中 $b < c$ )．

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