已知函数，（1）设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，-优题课

题文

已知函数，
（1）设两曲线与有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关于的函数关系式，并求的最大值；
（2）若在（0，4）上为单调函数，求的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

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设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列（ $d \neq 0$ ）， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和. 记 $b_{n} = \frac{n S_{n}}{n^{2} + c}$ ， $n \in N^{+}$ ，其中 $c$ 为实数.
（1）若 $c = 0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明： $S_{n k} = n^{2} S_{k} (k, n \in N^{+})$ ；
（2）若 ${b_{n}}$ 是等差数列，证明 $c = 0$ .

如图，旅客从某旅游区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径.一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ，另一种从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$ .现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为50 $m / m i n$ ，在甲出发2 $m i n$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留1 $m i n$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$ . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m / m i n$ ，山路 $A C$ 长1260 $m$ ，经测量， $\cos A = \frac{12}{13}, \cos C = \frac{3}{5}$ .

（1）求索道 $A B$ 的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ，直线 $l : y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

（1）若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；
（2）若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A B ⊥$ 平面 $S B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A S = A B$ . 过点 $A$ 作 $A F ⊥ S B$ ，垂足为 $F$ ，点 $E$ ， $G$ 分别为棱 $S A$ ， $S C$ 的中点.

求证：（1）平面 $E F G ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2） $B C ⊥ S A$ .

已知 $a = (\cos α, \sin α), b = (\cos β, \sin β), 0 < β < α < π$ .
（1）若 $|a - b| = \sqrt{2}$ ，求证： $a ⊥ b$ ；
（2）设 $c \neq (0, 1)$ ，若 $a + b = c$ ，求 $α, β$ 的值.

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