设函数，其中常数<1。（1）讨论的单调性（2）若当时，恒成立-优题课

根据预测，某地第n（n∈N ^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为 $a_{n}$ 和 _{$b_{n}$}（单位：辆），其中 $a_{n} = {\begin{matrix} 5 n^{4} + 15 ，_{} 1 \leq n \leq 3 \\ - 10 n + 470 ，_{} n \geq 4 \end{matrix}$ ， $b_{n} = n + 5$ ，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量 $S_{n} = - 4 {(n - 46)}^{2} + 8800$ （单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

已知函数 $f (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x + \frac{1}{2}, x \in (0, π)$ ．

（1）求 $f (x)$ 的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边 $a = \sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若 $f (A) = 0$ ，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱 $A A_{1}$ 的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小．

设 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 的等差数列， ${{b}_{n}}$ 是首项 $b_{1}$ ，公比为q的等比数列

（1）设 $a_{1} =0 ， b_{1} =1,q=2 ，$ 若 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=1,2,3,4均成立，求d的取值范围

（2）若 $a_{1} {=b}_{1} > 0$ ， $m \in N^{*}$ ， $q \in (1, \sqrt[m]{2}]$ 证明：存在 $d \in R$ ，使得 $| a_{n} {-b}_{n} | \leq b_{1}$ 对n=2，3，…， $m+ 1$ 均成立，并求 $d$ 的取值范围（用 $b_{1}$ $， m ， q$ 表示）。

记 $f^{'} (x), g^{'} (x)$ 分别为函数 $f (x), g (x)$ 的导函数.若存在 $x_{0} \in R$ ，满足 $f (x_{0}) = g (x_{0})$ 且 $f^{'} (x_{0}) = g^{'} (x_{0})$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的一个“S点”.

（1）证明：函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = x^{2} + 2 x - 2$ 不存在“S点”.

（2）若函数 $f (x) = a x^{2} - 1$ 与 $g (x) = \ln x$ 存在“S点”，求实数 $a$ 的值.

（3）已知函数 $f (x) = - x^{2} + a$ ， $g (x) = \frac{b e^{x}}{x}$ ，对任意 $a > 0$ ，判断是否存在 $b > 0$ ，使函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内存在“S”点，并说明理由.