某工厂2010年第三季度生产的A，B，C，D四种型号的产品产-优题课

题文

某工厂2010年第三季度生产的A，B，C，D四种型号的产品产量用条形图形表示如图，现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加2011年4月份的一个展销会。

（1）A，B，C，D型号的产品各抽取多少件？
（2）从50件样品随机地抽取2件，求这2件产品恰好是不同型号产品的概率。

科目数学题型解答题难度中等

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设 $f (x) = \frac{x^{3}}{3}$ ，对任意实数 $t$ ，记 $g_{t} (x) = t^{\frac{2}{3}} x - \frac{2}{3} t$ ．
（I）求函数 $y = f (x) - g_{t} (x)$ 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g_{t} (x)$ 对任意正实数 $t$ 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 $x_{0}$ ，使得 $g_{x} (x_{0}) \geq g_{t} (x_{0})$ 对任意正实数 $t$ 成立．

已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}$ $a_{2 k}$ ,是关于的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, . . .)$ .

（I）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；
（II）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
（Ⅲ）记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{| \sin n |}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{(- 1)^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{(- 1)^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{(- 1)^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + . . . + \frac{(- 1)^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，

求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

如图，直线 $y = k x + b$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，记 $△ A O B$ 的面积为 $S$ ．

（I）求在 $k = 0, 0 < b < 1$ 的条件下， $S$ 的最大值；
（II）当 $|A B| = 2, S = 1$ 时，求直线 $A B$ 的方程．

在如图所示的几何体中， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ , $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C = B D = 2 A E$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点．

（I）求证： $C M ⊥ E M$ ；
（II）求 $C M$ 与平面 $C D E$ 所成的角．

已知 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．
（I）求边 $A B$ 的长；
（II）若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角 $C$ 的度数．

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