2014年青奥会水上运动项目将在J地举行，截止2010年底，-优题课

题文

2014年青奥会水上运动项目将在J地举行，截止2010年底，投资集团B在J地共投资100万元
用于地产和水上运动项目的开发。经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元。
（1）B集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
（2）假设2012年起，J地政府每年都要向B集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%，问B集团投资是否成功？

科目数学题型解答题难度中等

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设函数 $f (x) = a e^{x} \ln x + \frac{b e^{x - 1}}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = e (x - 1) + 2$ .

（I）求 $a, b$ ;

（II）证明： $f (x) > 1$ .

已知点 $A (0, - 2)$ ,椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ； $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $E$ 的方程；
（II)设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点.当 $∆ O P Q$ 的面积最大时，求 $l$ 的直线方程.

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A B ⊥ B_{1} C$ .

（Ⅰ）证明： $A C = A B_{1}$ ;
（Ⅱ）若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = 60 °$ , $A B = B C$ ,求二面角 $A - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 $x$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 $Z$ 服从正态分布，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $x$ ，近似为样本方差 $s^{2}$ .
（i）利用该正态分布，求 $P (187.8 < Z < 212.2)$ ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 $X$ 表示这100件产品中质量指标值位于区间 $(187.8, 212.2)$ 的产品件数.利用（i）的结果，求 $E X$ .
附： $\sqrt{150} \approx 12.2$

若则，。

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} \neq 0$ ， $a_{n} a_{n + 1} = λ S_{n} - 1$ ，其中 $λ$ 为常数，
（I）证明： $a_{n + 2} - a_{n} = λ$ ；
（II）是否存在 $λ$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等差数列？并说明理由.

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