某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台-优题课

对于数列 ${u_{n}}$ ，若存在常数 $M > 0$ ，对任意的 $n \in N^{+}$ ，恒有 $|u_{n + 1} - u_{n}| + |u_{n} - u_{n - 1}| + . . . + |u_{2} - u_{1}| \leq M$ ，则称数列 ${u_{n}}$ 为 $B -$ 数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为 $- \frac{1}{2}$ 的等比数列是否为 $B -$ 数列？请说明理由；
（Ⅱ）设 $S_{n}$ 是数列 ${x_{n}}$ 的前 $n$ 项和，给出下列两组判断：
A组：①数列 ${x_{n}}$ 是 $B -$ 数列；②数列 ${x_{n}}$ 不是 $B -$ 数列；
B组：③数列 ${S_{n}}$ 是 $B -$ 数列；④数列 ${S_{n}}$ 不是 $B -$ 数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；
（Ⅲ）若数列 ${a_{n}}$ 是 $B -$ 数列，证明：数列 ${{a_{n}}^{2}}$ 也是 $B -$ 数列.

已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x$ 的导函数的图象关于直线 $x = 2$ 对称.
（Ⅰ）求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若 $f (x)$ 在 $x = t$ 处取得最小值，记此极小值为 $g (t)$ ，求 $g (t)$ 的定义域和值域.

如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ,点 $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 上，且 $D E ⊥ A_{1} E$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} D E ⊥ A C C_{1} A_{1}$

（Ⅱ）求直线AD和平面 $A_{1} D E$ 所成角的正弦值。

已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ), x \in R$ (其中 $A > 0, ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2}$ )的周期为 $π$ ,且图象上一个最低点为 $M (\frac{2 π}{3}, - 2)$ .
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的解析式；
(Ⅱ)当 $x \in [0, \frac{π}{12}]$ ,求 $f (x)$ 的最值.

已知
(I)求函数的单调区间；
(Ⅱ)求函数上的最小值；
(Ⅲ)对一切的恒成立，求实数a的取值范围