已知二次方程在区间上任取两个实数（1）求方程的根都是正实数的-优题课

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆C过点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ ，焦点 $F_{1} (- \sqrt{3}, 0), F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，圆O的直径为 $F_{1} F_{2}$ .

（1）求椭圆C及圆O的方程；

（2）设直线 $l$ 与圆O相切于第一象限内的点P.

①若直线 $l$ 与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线 $l$ 与椭圆C交于A、B两点.若 $ΔOAB$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$ ，求直线 $l$ 的方程.

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $MPN$ ( $P$ 为此圆弧的中点)和线段 $MN$ 构成,已知圆 $O$ 的半径为40米,点 $P$ 到 $MN$ 的距离为50米,先规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 $ABCD$ .大棚Ⅱ内的地块形状为 $ΔCDP$ 要求 $AB$ 均在线段 $MN$ 上, $C, D$ 均在圆弧上,设 $OC$ 与 $MN$ 所成的角为 $θ$

（1）用 $θ$ 分别表示矩形 $A B C D$ 和 $Δ C D P$ 的面积,并确定 $\sin θ$ 的取值范围

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4 : 3$ .求当 $θ$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

已知 $α, β$ 为锐角， $\tan α = \frac{4}{3}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ 。

（1）求 $\cos 2 α$ 的值。

（2）求 $\tan (α - β)$ 的值。

在平行四边形 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = AB, A B_{1} ⊥ B_{1} C_{1}$

求证：

（1） $AB / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C$

（2）平面 $AB B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} BC$

设数列满足 $| a_{n} ﹣ \frac{a_{n + 1}}{2} | \leq 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

（1）求证： $| a_{n} | \geq 2^{n ﹣ 1} （ | a_{1} | ﹣ 2 ）（ n \in N^{*} ）$

（2）若 $| a_{n} | \leq {（ \frac{3}{2} ）}^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $| a_{n} | \leq 2 ， n \in N^{*}$ ．