九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经-优题课

九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程
（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10米，隧道顶部最高处距地面6.25米，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式
（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖起方向上的高度差至少为0.5米，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3米，最高3.5米的两辆车居中并列行驶（不考虑两车之间的空隙）？
（3）探究：该课题学习小组为进一步探究抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：
①如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上，设矩形ABCD的周长为为l，求l的最大值
②如图，过原点作一条直线y=x，交抛物线于M，交抛物线的对称轴于N，P为直线OM上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，问在直线OM上是否存在点P，使以点P、N、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由

科目数学题型解答题难度中等

为了抗击新冠疫情，我市甲、乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批防疫物资将运往 $A$ 地240吨， $B$ 地260吨，运费如下表（单位：元 $/$ 吨）．

目的地

生产厂

$A$

$B$

甲

乙

（1）求甲、乙两厂各生产了这批防疫物资多少吨？

（2）设这批物资从乙厂运往 $A$ 地 $x$ 吨，全部运往 $A$ ， $B$ 两地的总运费为 $y$ 元．求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案；

（3）当每吨运费均降低 $m$ 元 $(0 < m ⩽ 15$ 且 $m$ 为整数）时，按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元．求 $m$ 的最小值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 20$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上的一点，将 $ΔABE$ 沿着 $AE$ 折叠，点 $B$ 刚好落在 $CD$ 边上点 $G$ 处；点 $F$ 在 $DG$ 上，将 $ΔADF$ 沿着 $AF$ 折叠，点 $D$ 刚好落在 $AG$ 上点 $H$ 处，此时 $S_{ΔGFH} : S_{ΔAFH} = 2 : 3$ ，

（1）求证： $ΔEGC ∽ ΔGFH$ ；

（2）求 $AD$ 的长；

（3）求 $\tan ∠ GFH$ 的值．

九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图象与性质共探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图1．

列表：下表是 $x$ 与 $y$ 的几组对应值，其中 $m =$ 　　；

$x$	$\dots$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1	2	3	$\dots$
$y$	$\dots$	$\frac{2}{3}$	1	2	4	4	2	$m$	$\frac{2}{3}$	$\dots$

描点：根据表中各组对应值 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整；

（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质；

① 　　；

② 　　；

（3）①观察发现：如图2．若直线 $y = 2$ 交函数 $y = \frac{2}{| x |}$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $OA$ ，过点 $B$ 作 $BC / / OA$ 交 $x$ 轴于 $C$ ．则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　；

②探究思考：将①中"直线 $y = 2$ "改为"直线 $y = a (a > 0)$ "，其他条件不变，则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　；

③类比猜想：若直线 $y = a (a > 0)$ 交函数 $y = \frac{k}{| x |} (k > 0)$ 的图象于 $A$ ， $B$ 两点，连接 $OA$ ，过点 $B$ 作 $BC / / OA$ 交 $x$ 轴于 $C$ ，则 $S_{四边形 OABC} =$ 　　．

6月26日是"国际禁毒日"，某中学组织七、八年级全体学生开展了"禁毒知识"网上竞赛活动．为了解竞赛情况，从两个年级各随机抽取了10名同学的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，90，80，85，90，85，100；八年级85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．

整理数据：

分数

人数

年级

100

七年级

八年级

$a$

解析数据：

	平均数	中位数	众数	方差
七年级	89	$b$	90	39
八年级	$c$	90	$d$	30

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 的值；

（2）通过数据解析，你认为哪个年级的成绩比较好？请说明理由；

（3）该校七、八年级共有600人，本次竞赛成绩不低于90分的为"优秀"．估计这两个年级共有多少名学生达到"优秀"？

如图，将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $ΔDBE$ ，点 $C$ 的对应点 $E$ 恰好落在 $AB$ 的延长线上，连接 $AD$ ．

（1）求证： $BC / / AD$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 1$ ，求 $A$ ， $C$ 两点旋转所经过的路径长之和．