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下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图

（Ⅰ）求直方图中 $x$ 的值
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数 $x$ 的分布列和数学期望。

如图，在五棱锥 $P - A B C D E$ 中， $P A ⊥ 平面 A B C D E$ ， $A B ∥ C D$ ， $A C ∥ E D$ ， $A E ∥ B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 2 A E = 4$ ，三角形 $P A B$ 是等腰三角形．

（Ⅰ）求证： $平面 P C D ⊥ 平面 P A C$ ；
（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥 $P - A C D E$ 的体积．

如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2} = 1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $λ$ ，使得 $|A B| + |C D| = λ |A B| \cdot |C D|$ 恒成立？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 $A, B, C, D$ 四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $A, B, C, D$ 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题 $A, B, C, D$ 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 $A, B, C, D$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用 $ζ$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $ζ$ 的分布列和数学的 $E ζ$ .

已知函数 $f (x) = l n x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$ .
(Ⅰ)当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $g (x) = x^{2} - 2 b x + 4$ 当 $a = \frac{1}{4}$ 时，若对任意 $x_{1} \in (0, 2)$ ，存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $b$ 取值范围.