如右图，直线d过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线d的距-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + b$ 的图象经过 $(2, - 1)$ 和 $(- 2, 7)$ 且与直线 $y = kx - 2 k - 3$ 相交于点 $P (m, 2 m - 7)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线 $y = kx - 2 k - 3$ 与抛物线 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + b$ 的对称轴的交点 $Q$ 的坐标；

（3）在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ ，使 $ΔPQT$ 的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点 $T$ 的坐标；若不存在请说明理由．

如图，点 $D$ 是等边三角形 $ABC$ 外接圆上一点． $M$ 是 $BD$ 上一点，且满足 $DM = DC$ ，点 $E$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点．

（1）求证： $CM / / AD$ ；

（2）如果 $AD = 1$ ， $CM = 2$ ．求线段 $BD$ 的长及 $ΔBCE$ 的面积．

如图，一次函数 $y = - (b + 2) x + b$ 的图象经过点 $A (- 1, 0)$ ，且与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 相交于点 $P$ ．

（1）求 $b$ 的值；

（2）作 $PM ⊥ PC$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，已知 $S_{ΔMPC} = 4$ ，求双曲线的解析式．

某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．

（1）求甲、乙商品每件各多少元？

（2）本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元，

①最多可采购甲商品多少件？

②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的 $\frac{4}{5}$ ，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．

某中学为了科学建设“学生健康成长工程”，随机抽取了部分学生家庭对其家长进行了主题“周末孩子在家您关心了吗？”的调查问卷，将收回的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图：

（1）求 $m$ ， $n$ 的值；

（2）该校学生家庭总数为500，学校决定按比例在 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 类家庭中抽取家长组成培训班，其比例为 $B$ 类 $20 %$ ， $C$ 、 $D$ 类各取 $60 %$ ，请你估计该培训班的家庭数；

（3）若在 $C$ 类家庭中只有一个是城镇家庭，其余是农村家庭，请用列举法求出 $C$ 类中随机抽出2个家庭进行深度家访，其中有一个是城镇家庭的概率．