、已知是函数的一个极值点．(1)求；(2)求函数的单调区间．-优题课

设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = b \tan A$ ，且 $B$ 为钝角.
（1）证明： $B - A = \frac{π}{2}$ ；
（2）求 $\sin A + s i n C$ 的取值范围.

设 $a > 0, b > 0$ ,且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .
（1） $a + b \geq 2$ ；
（2） $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立.

已知直线 $l : \{\begin{cases} x = 5 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{1}{2} t \end{cases}$ ( $t$ 为参数),以坐标原点为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .
（1）将曲线 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设点 $M$ 的直角坐标为 $(5, \sqrt{3})$ ,直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $A, B$ ,求 $|M A| \cdot |M B|$ 的值.

如图，在圆 $O$ 中，相交于点 $E$ 的两弦 $A B$ ， $C D$ 的中点分别是 $M$ ， $N$ ，直线 $M O$ 与直线 $C D$ 相交于点 $F$ ，证明：

（1） $∠ M E N + ∠ N O M = 180 °$ ；
（2） $F E \cdot F N = F M \cdot F O$

一种画椭圆的工具如图①所示． $O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处铰链与 $O N$ 连接， $M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N = O N = 1$ ， $M N = 3$ ．当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动， $M$ 处的笔尖画出的椭圆记为 $C$ ．以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1} : x - 2 y = 0$ 和 $l_{2} : x + 2 y = 0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点，试探究： $△ O P Q$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．