分解因式（1）(5分)（2）(5分)-优题课

如图，抛物线顶点 $P (1, 4)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2） $Q$ 是抛物线上除点 $P$ 外一点， $ΔBCQ$ 与 $ΔBCP$ 的面积相等，求点 $Q$ 的坐标．

（3）若 $M$ ， $N$ 为抛物线上两个动点，分别过点 $M$ ， $N$ 作直线 $BC$ 的垂线段，垂足分别为 $D$ ， $E$ ．是否存在点 $M$ ， $N$ 使四边形 $MNED$ 为正方形？如果存在，求正方形 $MNED$ 的边长；如果不存在，请说明理由．

如图，矩形 $ABCD$ 中， $AC = 2 AB$ ，将矩形 $ABCD$ 绕点 $A$ 旋转得到矩形 $AB' C' D'$ ，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $AC$ 上， $B^{'} C^{'}$ 交 $AD$ 于点 $E$ ，在 $B^{'} C'$ 上取点 $F$ ，使 $B^{'} F = AB$ ．

（1）求证： $AE = C' E$ ．

（2）求 $∠ FB B^{'}$ 的度数．

（3）已知 $AB = 2$ ，求 $BF$ 的长．

某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用10000元采购 $A$ 型丝绸的件数与用8000元采购 $B$ 型丝绸的件数相等，一件 $A$ 型丝绸进价比一件 $B$ 型丝绸进价多100元．

（1）求一件 $A$ 型、 $B$ 型丝绸的进价分别为多少元？

（2）若销售商购进 $A$ 型、 $B$ 型丝绸共50件，其中 $A$ 型的件数不大于 $B$ 型的件数，且不少于16件，设购进 $A$ 型丝绸 $m$ 件．

①求 $m$ 的取值范围．

②已知 $A$ 型的售价是800元 $/$ 件，销售成本为 $2 n$ 元 $/$ 件； $B$ 型的售价为600元 $/$ 件，销售成本为 $n$ 元 $/$ 件．如果 $50 ⩽ n ⩽ 150$ ，求销售这批丝绸的最大利润 $w$ （元 $)$ 与 $n$ （元 $)$ 的函数关系式（每件销售利润 $=$ 售价 $-$ 进价 $-$ 销售成本）．

如图， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $P$ 在直径 $AB$ 的延长线上， $⊙ O$ 的半径为3， $PB = 2$ ， $PC = 4$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）求 $\tan ∠ CAB$ 的值．

如图，直线 $y = kx + b (k \neq 0)$ 与双曲线 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 交于点 $A (- \frac{1}{2}$ ， $2)$ ， $B (n, - 1)$ ．

（1）求直线与双曲线的解析式．

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴上，如果 $S_{ΔABP} = 3$ ，求点 $P$ 的坐标．