画图并填空：①画出图中△ABC的高AD(标注出点D的位置)；-优题课

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$ 的顶点 $O$ 与坐标原点重合，其边长为2，点 $A$ ，点 $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，函数 $y = 2 x$ 的图象与 $CB$ 交于点 $D$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象经过点 $D$ ，与 $AB$ 交于点 $E$ ，与函数 $y = 2 x$ 的图象在第三象限内交于点 $F$ ，连接 $AF$ 、 $EF$ ．

（1）求函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式，并直接写出 $E$ 、 $F$ 两点的坐标；

（2）求 $ΔAEF$ 的面积．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中，延长 $AB$ 至点 $E$ ，延长 $CD$ 至点 $F$ ，使得 $BE = DF$ ．连接 $EF$ ，与对角线 $AC$ 交于点 $O$ ．

求证： $OE = OF$ ．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $CE$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(6, - 8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $ΔFOE ≅ ΔFCE$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0, m)$ ，直线 $PB$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $ΔOPQ$ 是等腰三角形．

综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以"菱形纸片的剪拼"为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片 $ABCD (∠ BAD > 90 °)$ 沿对角线 $AC$ 剪开，得到 $ΔABC$ 和 $ΔACD$ ．

操作发现

（1）将图1中的 $ΔACD$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $α$ ，使 $α = ∠ BAC$ ，得到如图2所示的△ $AC' D$ ，分别延长 $BC$ 和 $DC'$ 交于点 $E$ ，则四边形 $ACEC'$ 的形状是　　；

（2）创新小组将图1中的 $ΔACD$ 以 $A$ 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 $α$ ，使 $α = 2 ∠ BAC$ ，得到如图3所示的△ $AC' D$ ，连接 $DB$ ， $C' C$ ，得到四边形 $BCC' D$ ，发现它是矩形，请你证明这个结论；

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中 $BC = 13 cm$ ， $AC = 10 cm$ ，然后提出一个问题：将△ $AC' D$ 沿着射线 $DB$ 方向平移 $acm$ ，得到△ $A' C' D'$ ，连接 $BD'$ ， $CC'$ ，使四边形 $BCC' D$ 恰好为正方形，求 $a$ 的值，请你解答此问题；

（4）请你参照以上操作，将图1中的 $ΔACD$ 在同一平面内进行一次平移，得到△ $A' C' D$ ，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．

太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢 $AB$ 的长度相同，均为 $300 cm$ ， $AB$ 的倾斜角为 $30 °$ ， $BE = CA = 50 cm$ ，支撑角钢 $CD$ ， $EF$ 与底座地基台面接触点分别为 $D$ 、 $F$ ， $CD$ 垂直于地面， $FE ⊥ AB$ 于点 $E$ ．两个底座地基高度相同（即点 $D$ ， $F$ 到地面的垂直距离相同），均为 $30 cm$ ，点 $A$ 到地面的垂直距离为 $50 cm$ ，求支撑角钢 $CD$ 和 $EF$ 的长度各是多少 $cm$ （结果保留根号）．