如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，），C（-优题课

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（2，），C（4,0），E点从O出发，以每秒1个单位的速度，沿边OC向C点运动，P点从O点出发，以每秒2个单位的速度，沿边OA与边AC向C运动，E、P两点同时出发，设运动时间为t秒。

（1）求∠AOC的度数，
（2）过 E作EH⊥AC于H，当t为何值时，△EPH是等边三角形。
（3）设四边形OEHP的面积S，求S关于t的函数表达式，并求出其最大值。
（4）当△OPE与以E、H、P为顶点的三角形相似，求P点坐标。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，抛物线经过 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ ， $C (0, - \frac{5}{2})$ 三点．

（Ⅰ）求抛物线的解析式；

（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 $P$ ，使 $PA + PC$ 的值最小，求点 $P$ 的坐标．

（Ⅲ）点 $M$ 为 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 $N$ ，使以 $A$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2） $∵ \tan ∠ ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $BC = 2$ ，

$∴ AB = BC \cdot \tan ∠ ACB = \sqrt{2}$ ，

$∴ AC = \sqrt{6}$ ；

又 $∵ ∠ ACB = ∠ DCE$ ，

$∴ \tan ∠ DCE = \tan ∠ ACB = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

$∴ DE = DC \cdot \tan ∠ DCE = 1$ ；

方法一：在 $Rt Δ CDE$ 中， $CE = \sqrt{C D^{2} + D E^{2}} = \sqrt{3}$ ，

连接 $OE$ ，设 $⊙ O$ 的半径为 $r$ ，则在 $Rt Δ COE$ 中， $C O^{2} = O E^{2} + C E^{2}$ ，即 ${(\sqrt{6} - r)}^{2} = r^{2} + 3$

解得： $r = \frac{\sqrt{6}}{4}$

方法二： $AE = AD - DE = 1$ ，过点 $O$ 作 $OM ⊥ AE$ 于点 $M$ ，则 $AM = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2}$

在 $Rt Δ AMO$ 中， $OA = \frac{AM}{\cos ∠ EAO} = \frac{1}{2} \div \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．

某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）这次调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．

（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E)$ ．

某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间，据统计该校高一年级男生740人，使用了55间大寝室和50间小寝室，正好住满；女生730人，使用了大寝室50间和小寝室55间，也正好住满．求该校的大小寝室每间各住多少人？

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $BC = 2 AB = 4$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $BC$ 、 $AD$ 的中点．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）当四边形 $AECF$ 为菱形时，求出该菱形的面积．