阅读材料：如图，△ABC中，ABAC，P为底边BC上任意一点-优题课

阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h，连结AP，则，即：，（1）理解与应用
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为，，，试证明：.

（2）类比与推理
边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于；
（3）拓展与延伸
若边长为2的正n边形A₁A₂…An内部任意一点P到各边的距离为，请问是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：三角形的五心

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $BC = 6 \sqrt{3} cm$ ， $AC = 12 cm$ ．点 $P$ 是 $CA$ 边上的一动点，点 $P$ 从点 $C$ 出发以每秒 $2 cm$ 的速度沿 $CA$ 方向匀速运动，以 $CP$ 为边作等边 $ΔCPQ$ （点 $B$ 、点 $Q$ 在 $AC$ 同侧），设点 $P$ 运动的时间为 $x$ 秒， $ΔABC$ 与 $ΔCPQ$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）当点 $Q$ 落在 $ΔABC$ 内部时，求此时 $ΔABC$ 与 $ΔCPQ$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示，不要求写 $x$ 的取值范围）；

（2）当点 $Q$ 落在 $AB$ 上时，求此时 $ΔABC$ 与 $ΔCPQ$ 重叠部分的面积 $S$ 的值；

（3）当点 $Q$ 落在 $ΔABC$ 外部时，求此时 $ΔABC$ 与 $ΔCPQ$ 重叠部分的面积 $S$ （用含 $x$ 的代数式表示）．

如图，已知 $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ CAB$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $EB$ ，作 $∠ BEF = ∠ CAE$ ，交 $AB$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = 10$ ， $EF = 20$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $AD$ 的长．

某快递公司为了提高工作效率，计划购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台 $A$ 型机器人比每台 $B$ 型机器人每天多搬运20吨，并且3台 $A$ 型机器人和2台 $B$ 型机器人每天共搬运货物460吨．

（1）求每台 $A$ 型机器人和每台 $B$ 型机器人每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台 $A$ 型机器人售价3万元，每台 $B$ 型机器人售价2万元，该公司计划采购 $A$ 、 $B$ 两种型号的机器人共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出 $A$ 、 $B$ 两种机器人分别采购多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $AB = 120 m$ ，楼高 $CD = 99 m$ ，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外．在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $∠ EAM = 45 °$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $∠ FAM = 60 °$ ，已知每层楼的高度为 $3 m$ ， $EF = 40 m$ ，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？ $(\sqrt{3} \approx 1.73)$

某校开展主题为"防疫常识知多少"的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了 $A$ ：非常了解、 $B$ ：比较了解、 $C$ ：基本了解、 $D$ ：不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频数分布直方图，根据以上信息回答下列问题：

等级	频数	频率
$A$	20	0.4
$B$	15	$b$
$C$	10	0.2
$D$	$a$	0.1

（1）频数分布表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　，将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校"非常了解"和"比较了解"防疫常识的学生共有多少人？

（3）在"非常了解"防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率．