在我县举行的建县2700年唱红歌比赛活动中，共有40支参赛队-优题课

题文

在我县举行的“建县2700年”唱红歌比赛活动中，共有40支参赛队。有关部门对本次活动的获奖情况进行了统计，并根据收集的数据绘制了图6、图7两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下面的问题：
1、获一、二、三等奖各有多少参赛队？
2、在答题卷上将统计图图6补充完整。
3、计算统计图图7中“没获将”部分所对应的圆心角的度数
4、求本次活动的获奖概率。

图6

科目数学题型解答题难度容易

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已知函数 $f (x) = |x - 2| - |x - 5|$ .
（I）证明： $- 3 \leq f (x) \leq 3$ ；
（II）求不等式 $f (x) \geq x^{2} - 8 x + 15$ 的解集.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = \cos φ \\ y = \sin φ \end{cases}$ （ $φ$ 为参数）曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = a c o s φ \\ y = b s i n φ \end{cases}$ （ $a > b > 0$ ， $φ$ 为参数）在以 $0$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 $l$ ： $θ = α$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 各有一个交点.当 $α = 0$ 时，这两个交点间的距离为 $2$ ，当 $α = \frac{π}{2}$ 时，这两个交点重合.

（1）分别说明 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 是什么曲线，并求出 $a$ 与 $b$ 的值；
（2）设当 $α = \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ,当 $α = - \frac{π}{4}$ 时， $l$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点为 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ，求四边形 $A_{1} A_{2} B_{2} B_{1}$ 的面积.

已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ．
（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a > 0$ ，证明：当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时， $f (\frac{1}{a} + x) > f (\frac{1}{a} - x)$ ；
（III）若函数的图像与x轴交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 中点的横坐标为 $x_{0}$ ，
证明： $f ` (x_{0}) < 0$

如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M, N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_{2}$ 的短轴为 $M N$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l ⊥ M N$ ， $l 与 C_{1}$ 交于两点，与 $C_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ .

（1）设 $e = \frac{1}{2}$ ，求 $|B C|$ 与 $|A D|$ 的比值；
（2）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $B O ∥ A N$ ，并说明理由.

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地,在总共 $2 n$ 小块地中,随机选 $n$ 小块地种植品种甲,另外 $n$ 小块地种植品种乙.
(I)假设 $n = 4$ ,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 $X$ ,求 $X$ 的分布列和数学期望；
(II)试验时每大块地分成8小块，即 $n = 8$ ,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： $k g / h m^{2}$ ）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{a}$ 的样本方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - x)}^{2} + {(x_{2} - x)}^{2} + \dots + {(x_{n} - x)}^{2}]$ ,其中 $x$ 为样本平均数.

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