计算：；-优题课

综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 上一点， $∠ A D C ＝ ∠ A C B$ ．求证 $∠ A C D ＝ ∠ A B C$ ．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，延长 $C A$ 至点 $E$ ，使 $C E ＝ B D$ ， $B E$ 与 $C D$ 的延长线相交于点 $F$ ，点 $G ， H$ 分别在 $B F 、 B C$ 上， $B G ＝ C D ， ∠ B G H ＝ ∠ B C F$ ．在图中找出与 $B H$ 相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $∠ B A C ＝ 90 °$ 时，若给出 $△ A B C$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C ＝ 90 ° ， A B ＝ 4 ， A C ＝ 2$ ，求 $B H$ 的长．”

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ， $B C ＝ 4$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $C D ＝ 3$ ，连接 $D B$ ， $A D ＝ D B$ ，点 $P$ 是边 $A C$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $A ， D ， C$ 重合），过点 $P$ 作 $A C$ 的垂线，与 $A B$ 相交于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ，设 $A P ＝ x$ ， $△ P D Q$ 与 $△ A B D$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）求 $A C$ 的长；

（2）求 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

$A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $O D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $D O$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）如图1，求证 $∠ B ＝ ∠ E$ ；

（2）如图2，连接 $A D$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $O E ＝ 3$ ，求 $A D$ 的长．

如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是 $1$ 米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道 $A$ 处测得白塔底部 $B$ 的仰角约为 $30 °$ ，测得白塔顶部 $C$ 的仰角约为 $37 °$ ，索道车从 $A$ 处运行到 $B$ 处所用时间约为 $5$ 分钟．

（1）索道车从 $A$ 处运行到 $B$ 处的距离约为＿＿＿＿＿米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60 ， \cos 37 ° \approx 0.80 ， \tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 $V$ （单位： $m^{3}$ ）变化时，气体的密度 $ρ$ （单位： $k g / m^{3}$ ）随之变化．已知密度 $ρ$ 与体积 $V$ 是反比例函数关系，它的图象如图所示，当 $V ＝ 5 m^{3}$ 时， $ρ ＝ 1.98 k g / m^{3}$ ．

（1）求密度 $ρ$ 关于体积V的函数解析式；

（2）若 $3 \leq V \leq 9$ ，求二氧化碳密度 $ρ$ 的变化范围．