（本小题满分14分）已知数列中的各项均为正数，且满足.记，数-优题课

题文

（本小题满分14分）
已知数列中的各项均为正数，且满足.记，数列的前项和为，且.
(1)证明是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求证：.

科目数学题型解答题难度较易

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已知数列 ${a_{n}}$ 中的相邻两项 $a_{2 k - 1}$ $a_{2 k}$ ,是关于的方程 $x^{2} - (3 k + 2^{k}) x + 3 k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2 k - 1} \leq a_{2 k} (k = 1, 2, 3, . . .)$ .

（I）求 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ ， $a_{7}$ ；
（II）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ；
（Ⅲ）记 $f (n) = \frac{1}{2} (\frac{| \sin n |}{\sin n} + 3)$ ， $T_{n} = \frac{(- 1)^{f (2)}}{a_{1} a_{2}} + \frac{(- 1)^{f (3)}}{a_{3} a_{4}} + \frac{(- 1)^{f (4)}}{a_{5} a_{6}} + . . . + \frac{(- 1)^{f (n + 1)}}{a_{2 n - 1} a_{2 n}}$ ，

求证： $\frac{1}{6} \leq T_{n} \leq \frac{5}{24} (n \in N^{*})$ ．

如图，直线 $y = k x + b$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点，记 $△ A O B$ 的面积为 $S$ ．

（I）求在 $k = 0, 0 < b < 1$ 的条件下， $S$ 的最大值；
（II）当 $|A B| = 2, S = 1$ 时，求直线 $A B$ 的方程．

在如图所示的几何体中， $E A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D B ⊥$ 平面 $A B C$ , $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C = B D = 2 A E$ ， $M$ 是 $A B$ 的中点．

（I）求证： $C M ⊥ E M$ ；
（II）求 $C M$ 与平面 $C D E$ 所成的角．

已知 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．
（I）求边 $A B$ 的长；
（II）若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角 $C$ 的度数．

已知半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 组成的曲线称为"果圆"，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}, a > 0, b > c > 0$ .如图，设点 $F_{0}, F_{1}, F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是"果圆" 与 $x$ ， $y$ 轴的交点，
（1）若三角形 $F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；
（2）若 $|A_{1} A| > |B_{1} B|$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 $k$ ，使得斜率为 $k$ 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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