已知，若满足，（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并加-优题课

已知，若满足，
（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性，并加以证明。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三面角、直三面角的基本性质

设 $f (x) = \frac{1 + a^{x}}{1 - a^{x}} (a > 0 且 a \neq 1)$ ， $g (x)$ 是 $f (x)$ 的反函数.
（Ⅰ）设关于 $x$ 的方程求 $\log_{a} \frac{t}{(x^{2} - 1) (7 - x)} = g (x)$ 在区间 $[2, 6]$ 上有实数解，求 $t$ 的取值范围；
（Ⅱ）当 $a ＝ e$ （e为自然对数的底数）时，证明： $\sum_{k = 2}^{n} g (k) > \frac{2 - n - n^{2}}{\sqrt{2 n (n + 1)}}$ ；
（Ⅲ）当 $0 ＜ a \leq \frac{1}{2}$ 时，试比较 $|\sum_{k = 1}^{n} f (k) - n|$ 与4的大小，并说明理由.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足a₁＝0，a₂＝2，且对任意 $m, n \in N *$ 都有 $a_{2 m － 1} ＋ a_{2 n － 1} ＝ 2 a_{m ＋ n － 1} ＋ 2 (m － n) 2$
（Ⅰ）求 $a_{3}, a_{5}$ ；
（Ⅱ）设 $b_{n} ＝ a_{2 n ＋ 1} － a_{2 n － 1} (n \in N^{*})$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 是等差数列；
（Ⅲ）设 $c_{n} ＝ (a_{n + 1} － a_{n}) q^{n － 1} (q \neq 0 ， n \in N^{*})$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

已知定点 $A (- 1, 0), F (2, 0)$ ,定直线 $l$ : $x = \frac{1}{2}$ ,不在 $x$ 轴上动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的2倍.设点 $P$ 的轨迹为 $E$ ,过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B 、 C$ 两点,直线 $A B 、 A C$ 分别交 $l$ 于点 $M 、 N$

（Ⅰ）求 $E$ 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 $M N$ 为直径的圆是否过点 $F$ ,并说明理由.

已知正方体 $A B C D － A ` B ` C ` D `$ 的棱长为1，点 $M$ 是棱 $A A `$ 的中点，点O是对角线 $B D `$ 的中点.
（Ⅰ）求证： $O M$ 为异面直线 $A A `$ 和 $B D `$ 的公垂线；
（Ⅱ）求二面角 $M － B C ` － B `$ 的大小；
（Ⅲ）求三棱锥 $M － O B C$ 的体积.

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有"奖励一瓶"或"谢谢购买"字样，购买一瓶若其瓶盖内印有"奖励一瓶"字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$ .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数 $ξ$ 的分布列及数学期望 $E ξ$ .

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