已知:,……(1)按照上面算式,你能猜出;(2)利用上面的规-优题课

已知平面图形 $S$ ，点 $P$ 、 $Q$ 是 $S$ 上任意两点，我们把线段 $PQ$ 的长度的最大值称为平面图形 $S$ 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (1, 0)$ ， $C$ 是坐标平面内的点，连接 $AB$ 、 $BC$ 、 $CA$ 所形成的图形为 $S$ ，记 $S$ 的宽距为 $d$ ．

①若 $d = 2$ ，用直尺和圆规画出点 $C$ 所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；

②若点 $C$ 在 $⊙ M$ 上运动， $⊙ M$ 的半径为1，圆心 $M$ 在过点 $(0, 2)$ 且与 $y$ 轴垂直的直线上．对于 $⊙ M$ 上任意点 $C$ ，都有 $5 ⩽ d ⩽ 8$ ，直接写出圆心 $M$ 的横坐标 $x$ 的取值范围．

如图，二次函数 $y = - x^{2} + bx + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，点 $D$ 为 $OC$ 的中点，点 $P$ 在抛物线上．

（1） $b =$ 　　；

（2）若点 $P$ 在第一象限，过点 $P$ 作 $PH ⊥ x$ 轴，垂足为 $H$ ， $PH$ 与 $C$ 、 $BD$ 分别交于点 $M$ 、 $N$ ．是否存在这样的点 $P$ ，使得 $PM = MN = NH$ ？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 的横坐标小于3，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ BD$ ，垂足为 $Q$ ，直线 $PQ$ 与 $x$ 轴交于点 $R$ ，且 $S_{ΔPQB} = 2 S_{ΔQRB}$ ，求点 $P$ 的坐标．

（阅读）

数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．

（理解）

（1）如图1，两个直角边长分别为 $a$ 、 $b$ 、斜边长为 $c$ 的直角三角形和一个两条直角边都是 $c$ 的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（2）如图2， $n$ 行 $n$ 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式： $n^{2} =$ 　　；

（运用）

（3） $n$ 边形有 $n$ 个顶点，在它的内部再画 $m$ 个点，以 $(m + n)$ 个点为顶点，把 $n$ 边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得 $y$ 个这样的三角形．当 $n = 3$ ， $m = 3$ 时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以 $y = 7$ ．

①当 $n = 4$ ， $m = 2$ 时，如图4， $y =$ 　　；当 $n = 5$ ， $m =$ 　　时， $y = 9$ ；

②对于一般的情形，在 $n$ 边形内画 $m$ 个点，通过归纳猜想，可得 $y =$ 　　（用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

将图中的 $A$ 型（正方形）、 $B$ 型（菱形）、 $C$ 型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　　；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）

在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．

（1）本次调查的样本容量是　　，这组数据的众数为　　元；

（2）求这组数据的平均数；

（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．