如图所示，已知A点的坐标为(0，3)，⊙A的半径为1，点B在-优题课

如图所示，已知A点的坐标为(0，3)，⊙A的半径为1，点B在轴上．

①若点B的坐标为(4，0)，⊙B的半径为3，试判断⊙A与⊙B的位置关系；
②能否在轴的正半轴上确定一点B，使⊙B与y轴相切，并且与⊙A相切?请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式.如图， $A ， B$ 是两处海港，其中 $A$ 在 $B$ 东偏南 $30^{\circ}$ 方向 $30 \sqrt{2} km$ 处，辽宁号航母从海港 $A$ 出发，沿东偏北 $45^{\circ}$ 方向，以 $15 km / h$ 的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港 $B$ 出发，沿东偏北 $15^{\circ}$ 的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点 $C$ .

（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多长时间?

（2）求长沙舰的航行速度（结果保留根号）.

如图， $D$ 是以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 的切线 $DE$ 交 $AB$ 的延长线于点 $E$ ，过点 $B$ 作 $BC ⊥ DE$ 交 $AD$ 的延长线于点 $C$ ，垂足为点 $F$ .

（1）求证: $AB = BC$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的直径 $AB$ 为 $9 ， \sin A = \frac{1}{3}$ .

①求线段 $BF$ 的长；

②求线段 $BE$ 的长.

某海域有一小岛 $P$ ，在以 $P$ 为圆心，半径 $r$ 为 $10 （ 3 + \sqrt{3} ）$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于北偏东 $60^{\circ}$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达 $B$ 处，此时观测小岛 $P$ 位于 $B$ 处北偏东 $45^{\circ}$ 方向上.

（1）求 $A ， P$ 之间的距离 $AP$ ;

（2）若海监船由 $B$ 处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由 $B$ 处开始沿南偏东至多少度的方向航行能安全通过这一海域?

如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC, BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $OE ⊥ AC$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $BC = 4, △ AOE$ 的面积为 $6$ ，求 $cos ∠ BOE$ 的值.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ B = 36^{\circ}, D$ 为 $BC$ 上一点， $AB = AC = BD = 1$ .

（1）求 $CD$ 的长;

（2）利用此图，求 $sin 18^{\circ}$ 的精确值.

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