弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质-优题课

弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)之间的关系如下表：

物体的质量(kg)	0	1	2	3	4	5
弹簧的长度(cm)	12	12.5	13	13.5	14	14.5

（1）上表反映了哪些变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?
（2）当物体的质量为3kg时，弹簧的长度怎样变化?
（3）当物体的质量逐渐增加时，弹簧的长度怎样变化?
（4）如果物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（5）当弹簧的长度为16cm时，所挂物体的质量是多少kg？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价 $0.1 \times (18 - 10) = 0.8$ （元 $)$ ，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售 $x (x > 10)$ 只时，所获利润 $y$ （元 $)$ 与 $x$ （只 $)$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当 $10 < x ⩽ 50$ 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $P$ 在 $BA$ 的延长线上，弦 $CD ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，且 $P C^{2} = PE \cdot PO$ ．

（1）求证： $PC$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）若 $OE : EA = 1 : 2$ ， $PA = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线 $BCD)$ 恰好落在水平地面和斜坡上，在 $D$ 处测得电线杆顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $C$ 处测得电线杆顶端 $A$ 得仰角为 $45 °$ ，斜坡与地面成 $60 °$ 角， $CD = 4 m$ ，请你根据这些数据求电线杆的高 $(AB)$ ．

（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7)$

黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级，设学习时间为 $t$ （小时）， $A : t < 1$ ， $B : 1 ⩽ t < 1.5$ ， $C : 1.5 ⩽ t < 2$ ， $D : t ⩾ 2$ ，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；

（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？

（3）表示 $B$ 等级的扇形圆心角 $α$ 的度数是多少？

（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (- 1.0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点 $D$ 的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点 $P$ ，使得以点 $P$ 、 $D$ 、 $A$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 $P$ 点的坐标，若不存在，请说明理由．