某中学举行中国梦·我的梦演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想-优题课

某中学举行“中国梦·我的梦”演讲比赛。志远班的班长和学习委员都想去，于是老师制作了四张标有算式的卡片，背面朝上洗匀后，先由班长抽一张，再由学习委员在余下三张中抽一张。如果两张卡片上的算式都正确，班长去；如果两张卡片上的算式都错误，学习委员去；如果两张卡片上的算式一个正确一处错误，则都放回去，背面朝上洗匀后再抽。
这个游戏公平吗？请用树状图或列表的方法，结合概率予以说明。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：利用频率估计概率

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (3, 0)$ ， $B (- 1, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$ 轴上是否存在一点 $P$ ，使得 $ΔPAM$ 为直角三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$ ，满足 $DA = OA$ ，过 $D$ 作 $DG ⊥ x$ 轴于点 $G$ ，设 $ΔADG$ 的内心为 $I$ ，试求 $CI$ 的最小值．

如图1，正方形 $ABDE$ 和 $BCFG$ 的边 $AB$ ， $BC$ 在同一条直线上，且 $AB = 2 BC$ ，取 $EF$ 的中点 $M$ ，连接 $MD$ ， $MG$ ， $MB$ ．

（1）试证明 $DM ⊥ MG$ ，并求 $\frac{MB}{MG}$ 的值．

（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设 $∠ EAB = 2 α (0 < α < 90 °)$ ，其它条件不变，问（1）中 $\frac{MB}{MG}$ 的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 $α$ 的式子表示）；若无变化，说明理由．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $AC$ 上，以 $AE$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ．

（1）求证：① $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

② $C D^{2} = CE \cdot CA$ ；

（2）若点 $F$ 是劣弧 $AD$ 的中点，且 $CE = 3$ ，试求阴影部分的面积．

“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的 $A$ ， $B$ 两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元（利润 $=$ 售价 $-$ 成本）．其每件产品的成本和售价信息如下表：

	$A$	$B$
成本（单位：万元 $/$ 件）	2	4
售价（单位：万元 $/$ 件）	5	7

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力．2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注．某市一研究机构为了了解 $10 ~ 60$ 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：

组别	年龄段	频数（人数）
第1组	$10 ⩽ x < 20$	5
第2组	$20 ⩽ x < 30$	$a$
第3组	$30 ⩽ x < 40$	35
第4组	$40 ⩽ x < 50$	20
第5组	$50 ⩽ x < 60$	15

（1）请直接写出 $a =$ 　　， $m =$ 　　，第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是　　度．

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有 $10 ~ 60$ 岁的市民300万人，问 $40 ~ 50$ 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？