设向量，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求使不等式成-优题课

如图, 在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为棱 $BC, CD$ 的中点.

(1) 求证： $D_{1} F ‖ A_{1} E C_{1}$ .

(2) 求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值.

(3) 求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值.

在 $△ ABC$ 中, 内角 $A, B, C$ 对边分别为 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ .

(1) 求 $a$ 的值.

(2) 求 $\cos C$ 的值.

(3) 求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值.

若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 21$ ，求 $a_{3}$ ；

（2）若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = c_{5} = 1$ ； $b_{5} = c_{1} = 81$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（3）设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + \sin a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：“对任意 $a_{1}$ ， ${a_{n}}$ 都具有性质 $P$ ”的充要条件为“ ${b_{n}}$ 是常数列”．

已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

（1）当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围．

（3）设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}$ ， $1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t$ ， $t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，直线 $l$ 过 $F_{2}$ 且与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{2}$ ，△ $F_{1} AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b = \sqrt{3}$ ，若 $l$ 的斜率存在，且 $(\vec{F_{1} A} + \vec{F_{1} B}) \cdot \vec{AB} = 0$ ，求 $l$ 的斜率．