如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，-优题课

题文

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E、F分别为棱PC，CD的中点．

(1)求证：平面OEF∥平面APD；
(2)求证：CD⊥平面POF；
(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．

科目数学题型解答题难度较难

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已知函数 $f (x), x \in R$ .
(Ⅰ) 若直线 $y = k x + 1$ 与 $f (x)$ 的反函数的图像相切, 求实数 $k$ 的值;
(Ⅱ) 设 $x > 0$ , 讨论曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = m^{} x^{2} (m > 0)$ 公共点的个数.
(Ⅲ) 设 $a < b$ , 比较 $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ 与 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小, 并说明理由.

已知动圆过定点 $A (4, 0)$ , 且在 $y$ 轴上截得的弦 $M N$ 的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程;
(Ⅱ) 已知点 $B (－ 1, 0)$ , 设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P, Q$ , 若 $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线, 证明直线 $l$ 过定点.

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) $X$ 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求 $X$ 的分布列和数学期望.

如图, 四棱柱 $A B C D － A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是正方形, $O$ 为底面中心, $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B = A A_{1} = \sqrt{2}$ .

(Ⅰ) 证明: $A_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ ;
(Ⅱ) 求平面 $O C B_{1}$ 与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 的夹角 $θ$ 的大小.

设 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列.
(Ⅰ) 推导 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式;
(Ⅱ) 设 $q \neq 1$ , 证明数列 $\{a_{n} + 1\}$ 不是等比数列.

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