如图所示，在矩形ABCD中，ABa,BCa，以对角线AC为折-优题课

题文

如图所示，在矩形ABCD中，AB=a,BC=a，以对角线AC为折线将直角三角形ABC向上翻折到三角形APC的位置（B点与P点重合），P点在平面ACD上的射影恰好落在边AD上的H处．

（1）求证：PA⊥CD；
（2）求直线PC与平面ACD所成角的正切值．

科目数学题型解答题难度较难

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如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径，点 $C$ 是圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点，直线 $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E, F$ 分别是 $P A, P C$ 的中点．
（1）记平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 的交线为 $l$ ，试判断直线l与平面 $P A C$ 的位置关系，并加以证明；

（2）设（1）中的直线 $l$ 与圆 $O$ 的另一个交点为 $D$ ，且点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = \frac{1}{2} \vec{C P}$ ．记直线 $P Q$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $θ$ ，异面直线与 $E F$ 所成的角为 $α$ ，二面角 $E - l - C$ 的大小为 $β$ ．求证： $\sin θ = \sin α \sin β$ ．

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $|a_{2} - a_{3}| = 10, a_{1} a_{2} a_{3} = 125$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）是否存在正整数 $m$ ，使得 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} \geq 1$ ？若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由．

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $\cos 2 A - 3 \cos (B + C) = 1$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{3}, b = 5$ ，求 $\sin B \sin C$ 的值．

设 $0 < a < 1$ ，集合 $A = {x \in R x > 0}, B = {x \in R 2 x^{2} - 3 (1 + a) x + 6 a > 0}, D = A \cap B$

（1）求集合 $D$ （用区间表示）
（2）求函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 (1 + a) x^{2} + 6 a x$ 在 $D$ 内的极值点.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ，且点 $P (0, 1)$ 在 $C_{1}$ 上。
（1）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；
（2）设直线 $l$ 同时与椭圆 $C_{1}$ 和抛物线 $C_{2} : y^{2} = 4 x$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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