如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD-优题课

祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目	内容
课题	测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图		说明：两侧最长斜拉索 $AC$ ， $BC$ 相交于点 $C$ ，分别与桥面交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一竖直平面内．
测量数据	$∠ A$ 的度数	$∠ B$ 的度数	$AB$ 的长度
	$38 °$	$28 °$	234米
$\dots$	$\dots$

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点 $C$ 到 $AB$ 的距离（参考数据： $\sin 38 ° \approx 0.6$ ， $\cos 38 ° \approx 0.8$ ， $\tan 38 ° \approx 0.8$ ， $\sin 28 ° \approx 0.5$ ， $\cos 28 ° \approx 0.9$ ， $\tan 28 ° \approx 0.5)$

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

在“优秀传统文化进校园”活动中，学校计划每周二下午第三节课时间开展此项活动，拟开展活动项目为：剪纸，武术，书法，器乐，要求七年级学生人人参加，并且每人只能参加其中一项活动．教务处在该校七年级学生中随机抽取了100名学生进行调查，并对此进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．

请解答下列问题：

（1）请补全条形统计图和扇形统计图；

（2）在参加“剪纸”活动项目的学生中，男生所占的百分比是多少？

（3）若该校七年级学生共有500人，请估计其中参加“书法”项目活动的有多少人？

（4）学校教务处要从这些被调查的女生中，随机抽取一人了解具体情况，那么正好抽到参加“器乐”活动项目的女生的概率是多少？

如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} \neq 0)$ 的图象分别与 $x$ 轴， $y$ 轴相交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0)$ 的图象相交于点 $C (- 4, - 2)$ ， $D (2, 4)$ ．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当 $x$ 为何值时， $y_{1} > 0$ ；

（3）当 $x$ 为何值时， $y_{1} < y_{2}$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

如图，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{9} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 3 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．点 $P$ 沿 $AC$ 以每秒1个单位长度的速度由点 $A$ 向点 $C$ 运动，同时，点 $Q$ 沿 $BO$ 以每秒2个单位长度的速度由点 $B$ 向点 $O$ 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 $PQ$ ．过点 $Q$ 作 $QD ⊥ x$ 轴，与抛物线交于点 $D$ ，与 $BC$ 交于点 $E$ ，连接 $PD$ ，与 $BC$ 交于点 $F$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

（1）求直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）①直接写出 $P$ ， $D$ 两点的坐标（用含 $t$ 的代数式表示，结果需化简）

②在点 $P$ 、 $Q$ 运动的过程中，当 $PQ = PD$ 时，求 $t$ 的值；

（3）试探究在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 $F$ 为 $PD$ 的中点？若存在，请直接写出此时 $t$ 的值与点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形称为 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或 $3 \sqrt{2}$ ， $4 \sqrt{2}$ ， $5 \sqrt{2}$ 的三角形就是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作如图1，在矩形纸片 $ABCD$ 中， $AD = 8 cm$ ， $AB = 12 cm$ ．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $D$ 落在 $AB$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $AF$ ，再沿 $EF$ 折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点 $D$ 与点 $F$ 重合，折痕为 $GH$ ，然后展平，隐去 $AF$ ．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿 $AH$ 折叠，得到△ $AD' H$ ，再沿 $AD'$ 折叠，折痕为 $AM$ ， $AM$ 与折痕 $EF$ 交于点 $N$ ，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形 $AEFD$ 是正方形．

（2）请在图4中判断 $NF$ 与 $ND'$ 的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明 $ΔAEN (3$ ，4， $5)$ 型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形？请找出并直接写出它们的名称．