已知曲线的参数方程为
(
为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线
上的点按坐标变换
得到曲线
.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若点在曲线
上,点
,当点
在曲线
上运动时,求
中点
的轨迹方程.
已知函数,且
的最大值为2,其图象相邻两对称轴间的距离为2,并过点
.
(1)求的值;
(2)若函数在
上的图象与
轴的交点分别为
、
,求
与
的夹角.
从某校高三年级800名学生中随机抽取50名测量身高.据测量,被抽取的学生的身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果分成八组得到的频率分布直方图如下:
(1)试估计这所学校高三年级800名学生中身高在180cm以上(含180cm)的人数为多少;
(2)在样本中,若学校决定身高在185cm以上的学生中随机抽取2名学生接受某军校考官进行面试,求:身高在190cm以上的学生中至少有一名学生接受面试的概率.
(本小题满分13分)
设函数对任意的实数
,都有
,且当
时,
。
(1)若时,求
的解析式;
(2)对于函数,试问:在它的图象上是否存在点
,使得函数在点
处的切线与
平行。若存在,那么这样的点
有几个;若不存在,说明理由。
(3)已知,且
,记
,求证:
。
(本小题满分13分)
已知椭圆.
与
有相同的离心率,过点
的直线
与
,
依次交于A,C,D,B四点(如图).当直线
过
的上顶点时, 直线
的倾斜角为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:;
(3)若,求直线
的方程.
(本小题满分13分)
平地上有一条水渠,其横断面是一段抛物线弧,如图,已知渠宽为,渠深为6
。
(1)若渠中水深为4,求水面的宽,并计算水渠横断面上的过水面积;
(2)为了增大水渠的过水量,现要把这条水渠改挖(不能填土)成横断面为等腰梯形的水渠,使水渠的底面与地面平行(不改变渠深),要使所挖土的土方量最少,请你设计水渠改挖后的底宽,并求出这个底宽。