已知在椭圆中，分别为椭圆的左右焦点，直线过椭圆右焦点，且与椭-优题课

已知在椭圆中，分别为椭圆的左右焦点，直线过椭圆右焦点，且与椭圆的交点为（点在第一象限），若．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）以为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B，延长，分别交椭圆于两点，判断直线的斜率是否为定值，并说明理由.

科目数学题型解答题难度较难

已知函数f（x）=cos ²x﹣sin ²x+ $\frac{1}{2}$ ，x∈（0，π）．

（1）求f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a= $\sqrt{19}$ ，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

如图，直三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA ₁的长为5．

（1）求三棱柱ABC﹣A ₁B ₁C ₁的体积；

（2）设M是BC中点，求直线A ₁M与平面ABC所成角的大小.

已知一个口袋有 $m$ 个白球， $n$ 个黑球 $（ m ， n \in N^{*} ， n \geq 2 ）$ ，这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…， $m + n$ 的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉 $（ k = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ， m + n ）$ ．

（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 $p$ ；

（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数， $E （ X ）$ 是 $X$ 的数学期望，证明 $E （ X ）＜ \frac{n}{(m + n) (n - 1)}$ ．

如图，在平行六面体 $ABCD ﹣ A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥ 平面 ABCD$ ，且 $AB = AD = 2$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $∠ BAD = 120 °$ ．

（Ⅰ）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角 $B ﹣ A_{1} D ﹣ A$ 的正弦值．

已知a，b，c，d为实数，且 $a^{2} + b^{2} = 4$ ， $c^{2} + d^{2} = 16$ ，证明 $ac + bd \leq 8$ ．

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