设{an}是公比为正数的等比数列a12,a3a24．（Ⅰ）求-优题课

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出 $n$ 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 $n$ 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设 $n = 4$ ，分别以 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 $X = |1 - a_{1}| + |2 - a_{2}| + |3 - a_{3}| + |4 - a_{4}|$ ，则 $X$ 是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出 $X$ 的可能值集合；
(Ⅱ)假设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 等可能地为1,2,3,4的各种排列，求 $X$ 的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有 $X \leq 2$ ，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

设数列 $a_{1}, a_{2}, \dots a_{n} \dots$ 中的每一项都不为0.
证明： $\{a_{n}\}$ 为等差数列的充分必要条件是：对任何 $n \in N$ ，都有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = \frac{n}{a_{_{1}} a_{n - 1}}$ .

已知椭圆 $E$ 经过点 $A (2, 3)$ ，对称轴为坐标轴，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{1}{2}$ 。

(Ⅰ)求椭圆 $E$ 的方程；
(Ⅱ)求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；
(Ⅲ)在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $E F / / A B$ ， $E F ⊥ F B$ ， $A B = 2 E F$ ， $∠ B F C = 90^{°}$ ， $B F = F C$ ， $H$ 为 $B C$ 的中点.

(Ⅰ)求证： $F H$ ∥平面 $E D B$ ；
(Ⅱ)求证： $A C ⊥$ 平面 $E D B$ ；
(Ⅲ)求二面角 $B - D E - C$ 的大小。

设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + 2 a, x \in R$ 。
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时， $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ 。