已知曲线$\Gamma$上的点到点$F\left(0,1\right)$的距离比它到直线$y=-3$的距离小$2$.
（1）求曲线$\Gamma$的方程；
（2）曲线$\Gamma$在点$P$处的切线$l$与$x$轴交于点$A$.直线$y=3$分别与直线$l$及$y$轴交于点$M,N$，以$MN$为直径作圆$C$，过点$A$作圆$C$的切线，切点为$B$，试探究：当点$P$在曲线$\Gamma$上运动（点$P$与原点不重合）时，线段$AB$的长度是否发生变化？证明你的结论.

科目 数学   题型 解答题   难度 困难

知识点： 参数方程