已知圆C经过两点，且在轴上截得的线段长为，半径小于5.（1）-优题课

设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - 2 x + 2 a, x \in R$ 。
(Ⅰ)求 $f (x)$ 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 $a > \ln 2 - 1$ 且 $x > 0$ 时， $e^{x} > x^{2} - 2 a x + 1$ 。

设 $△ A B C$ 是锐角三角形， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对边长，并且 $\sin^{2} A = \sin (\frac{π}{3} + B) \sin (\frac{π}{3} - B) + \sin^{2} B$ ，

(Ⅰ)求角 $A$ 的值；

(Ⅱ)若 $\overset{⇀}{A B \cdot} \overset{⇀}{A C} = 12$ , $a = 2 \sqrt{7}$ ，求 $b, c$ (其中 $b < c$ )．

已知 $∆ A B C$ 的三边长为有理数
（1）求证 $\cos A$ 是有理数;
（2）对任意正整数 $n$ ,求证 $\cos n A$ 也是有理数.

某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立.
（1）记 $X$ 单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求 $X$ 的分布列.
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

（1）几何证明选讲
$A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 延长线于 $C$ ，若 $D A = D C$ ，求证 $A B = 2 B C$ .

（2）矩阵与变换
在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, 0), B (- 3, 0), C (- 2, - 1)$ ,设 $k \neq 0, k \in R$ ， $M = [\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], N = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$ ,点 $A, B, C$ 在矩阵 $M N$ 对应的变换下得到点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, △ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的2倍，求实数 $k$ 的值
（3）参数方程与极坐标
在极坐标系中，圆 $ρ = 2 \cos θ$ 与直线 $3 ρ c s θ + 4 ρ \sin θ + a = 0$ 相切，求实数 $a$ 的值.
（4）不等式证明选讲
已知实数 $a, b \geq 0$ ，求证： $a^{3} + b^{3} \geq \sqrt{a b} (a^{2} + b^{2})$ .