如图，点是的中点，，.求证：△≌△.-优题课

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，交 $x$ 轴于 $A$ 、 $B$ 两点， $A (- 2, 0)$ ， $a + b = \frac{1}{2}$ ，点 $M$ 是抛物线上的动点，点 $M$ 在顶点和 $B$ 点之间运动（不包括顶点和 $B$ 点）， $ME / / y$ 轴，交直线 $BC$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求线段 $ME$ 的最大值；

（3）若点 $F$ 在直线 $BC$ 上， $EF = \frac{9 \sqrt{2}}{4}$ ， $∠ EFM = ∠ ACO$ ，求点 $F$ 的坐标．

已知： $ΔABC$ 是等边三角形，点 $E$ 在直线 $AC$ 上，连接 $BE$ ，以 $BE$ 为边作等边三角形 $BEF$ ，将线段 $CE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $CD$ ，连接 $AF$ 、 $AD$ 、 $ED$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 在线段 $AC$ 上时，求证： $ΔBCE ≅ ΔACD$ ；

（2）如图1，当点 $E$ 在线段 $AC$ 上时，求证：四边形 $ADEF$ 是平行四边形；

（3）如图2，当点 $E$ 在线段 $AC$ 延长线上时，四边形 $ADEF$ 还是平行四边形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

某商场经营一种海产品，进价是每千克20元，根据市场调查发现，每日的销售量 $y$ （千克）与售价 $x$ （元 $/$ 千克）是一次函数关系，如图所示：

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式（不求自变量取值范围）；

（2）某日该商场出售这种海产品获得了21000元的利润，该海产品的售价是多少？

（3）若某日该商场这种海产品的销售量不少于650千克，该商场销售这种海产品获得的最大利润是多少？

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $A$ 是 $⊙ O$ 上的定点， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $DG / / BC$ ，交 $AC$ 延长线于点 $G$ ．

（1）求证： $DG$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）作 $BE ⊥ AD$ 于点 $E$ ， $CF ⊥ AD$ 于点 $F$ ，试判断线段 $BE$ 、 $CF$ 、 $EF$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论（不用尺规作图的方法补全图形）．

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形 $(AB < BC)$ ，要在矩形 $ABCD$ 内作一个以 $AB$ 为边的正方形 $ABEF$ ，某位同学的作法如下：

①作 $∠ ABC$ 的平分线 $BM$ ． $BM$ 交 $AD$ 于点 $F$ ；

②以点 $B$ 为圆心， $BA$ 长为半径画弧，交 $BC$ 于点 $E$ ，连接 $EF$ ．

（1）求证：四边形 $ABEF$ 是正方形；

（2）若 $AB = 5$ ，求图中阴影部分的面积．