已知函数的图象在处的切线方程为，其中有e为自然对数的底数。（-优题课

已知函数的图象在处的切线方程为，其中有e为自然对数的底数。
（1）求的值；
（2）当时，证明；
（3）对于定义域为D的函数若存在区间时，使得时，的值域是。则称是该函数的“保值区间”。设＋，问函数是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由。

科目数学题型解答题难度较难

知识点：组合几何

如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $o x$ 轴为始边做两个锐角 $α, β$ ，它们的终边分别与单位圆相交于 $A, B$ 两点，已知 $A, B$ 的横坐标分别为 $\frac{\sqrt{2}}{10}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

（1）求 $\tan (α + β)$ 的值；

（2）求 $α + 2 β$ 的值.

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，右准线为 $l, M, N$ 是 $l$ 上的两个动点， $\overset{⇀}{F_{1} M} \cdot \overset{⇀}{F_{2} N} = 0$ 。

（Ⅰ）若 $|\overset{⇀}{F_{1} M}| = |\overset{⇀}{F_{2} N}| = 2 \sqrt{5}$ ，求 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）证明：当 $|M N|$ 取最小值时， $\overset{⇀}{F_{1} M} + \overset{⇀}{F_{2} N}$ 与 $\overset{⇀}{F_{1} F_{2}}$ 共线。

如图，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B E F$ 与 $A B C D$ 都是直角梯形，
$∠ B A D = ∠ F A B = 90^{°}$ , $B C = \frac{1}{2} A D$ ， $B E$ $= \frac{1}{2} A F$ 。

（Ⅰ）证明： $C, D, E, F$ 四点共面；
（Ⅱ）设 $A B = B C = B E$ ，求二面角 $A - E D - B$ 的大小。

设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 $0.5$ ，购买乙种商品的概率为 $0.6$ ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
（Ⅲ）记表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求 $ξ$ 的分布列及期望。

（本小题满分12分）
设函数f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。
（Ⅰ）求f(x)的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值。

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