如图，AB为⊙O的直径，与弦CD相交于点E，且AC2，AE，-优题课

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C (0, - 3)$ ，顶点 $D$ 的坐标为 $(1, - 4)$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在 $y$ 轴上找一点 $E$ ，使得 $ΔEAC$ 为等腰三角形，请直接写出点 $E$ 的坐标．

（3）点 $P$ 是 $x$ 轴上的动点，点 $Q$ 是抛物线上的动点，是否存在点 $P$ 、 $Q$ ，使得以点 $P$ 、 $Q$ 、 $B$ 、 $D$ 为顶点， $BD$ 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $P$ 、 $Q$ 坐标；若不存在，请说明理由．

如图1， $ΔABC$ 和 $ΔDCE$ 都是等边三角形．

探究发现

（1） $ΔBCD$ 与 $ΔACE$ 是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点不在一条直线上， $∠ ADC = 30 °$ ， $AD = 3$ ， $CD = 2$ ，求 $BD$ 的长．

（3）若 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 三点在一条直线上（如图 $2)$ ，且 $ΔABC$ 和 $ΔDCE$ 的边长分别为1和2，求 $ΔACD$ 的面积及 $AD$ 的长．

黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．

（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

（2）设甲商品的销售单价为 $x$ （单位：元 $/$ 件），在销售过程中发现：当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时，甲商品的日销售量 $y$ （单位：件）与销售单价 $x$ 之间存在一次函数关系， $x$ 、 $y$ 之间的部分数值对应关系如表：

销售单价 $x$ （元 $/$ 件）	11	19
日销售量 $y$ （件 $)$	18	2

请写出当 $11 ⩽ x ⩽ 19$ 时， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为 $w$ 元，当甲商品的销售单价 $x$ （元 $/$ 件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点（与点 $A$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作直线 $PQ$ ，使得 $∠ ACQ = ∠ ABC$ ．

（1）求证：直线 $PQ$ 是 $⊙ O$ 的切线．

（2）过点 $A$ 作 $AD ⊥ PQ$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为2， $\sin ∠ DAC = \frac{1}{2}$ ，求图中阴影部分的面积．

某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩 $x$ 分 $(x$ 为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 表示）， $A$ 等级： $90 ⩽ x ⩽ 100$ ， $B$ 等级： $80 ⩽ x < 90$ ， $C$ 等级： $60 ⩽ x < 80$ ， $D$ 等级： $0 ⩽ x < 60$ ．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．

等级	频数（人数）	频率
$A$	$a$	$20 %$
$B$	16	$40 %$
$C$	$b$	$m$
$D$	4	$10 %$

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

（1）上表中的 $a =$ 　　， $b =$ 　　， $m =$ 　　．

（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．

（3）若从 $D$ 等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．