甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为-优题课

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记 $X$ 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， $n$ 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

（Ⅰ）求 $X$ 的分布列；

（Ⅱ）若要求 $P (X ⩽ n) ⩾ 0.5$ ，确定 $n$ 的最小值；

（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 $n = 19$ 与 $n = 20$ 之中选其一，应选用哪个？

如图，在以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF = 2 FD$ ， $∠ AFD = 90 °$ ，且二面角 $D - AF - E$ 与二面角 $C - BE - F$ 都是 $60 °$ ．

（Ⅰ）证明平面 $ABEF ⊥$ 平面 $EFDC$ ；

（Ⅱ）求二面角 $E - BC - A$ 的余弦值．

$ΔABC$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $2 \cos C (a \cos B + b \cos A) = c$ ．

（Ⅰ）求 $C$ ；

（Ⅱ）若 $c = \sqrt{7}$ ， $ΔABC$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $ΔABC$ 的周长．

已知 $a ＞ 0$ ， $b ＞ 0$ ， $a^{3} + b^{3} ＝ 2$ ．证明：

（1） $（ a + b ）（ a^{5} + b^{5} ） \geq 4$ ；

（2） $a + b \leq 2$ ．

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为 $ρcosθ ＝ 4$ ．

（1）M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足 $|OM| • |OP| ＝ 16$ ，求点P的轨迹C₂的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ ，点B在曲线C₂上，求△OAB面积的最大值．