两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆-优题课

题文

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0．065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

科目数学题型解答题难度较难

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ，直线 $l : y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

（1）若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；
（2）若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A B ⊥$ 平面 $S B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A S = A B$ . 过点 $A$ 作 $A F ⊥ S B$ ，垂足为 $F$ ，点 $E$ ， $G$ 分别为棱 $S A$ ， $S C$ 的中点.

求证：（1）平面 $E F G ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2） $B C ⊥ S A$ .

已知 $a = (\cos α, \sin α), b = (\cos β, \sin β), 0 < β < α < π$ .
（1）若 $|a - b| = \sqrt{2}$ ，求证： $a ⊥ b$ ；
（2）设 $c \neq (0, 1)$ ，若 $a + b = c$ ，求 $α, β$ 的值.

已知函数 $f (x) = |x - a|$ ,其中 $a > 1$ .
（I）当 $a = 2$ ，求不等式 $f (x) \geq 4 - |x - 4|$ 的解集.
（II）已知关于 $x$ 的不等式 $|f (2 x + a) - 2 f (x)| \leq 2$ 的解集为 ${x 1 \leq x \leq 2}$ ，求 $a$ 的值.

在直角坐标系 $x O y$ 中以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆 $C_{1}$ ，直线 $C_{2}$ 的极坐标方程分别为 $ρ = 4 \sin θ, ρ = \cos (θ - \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .
（1）求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标

（2）设 $P$ 为 $C_{1}$ 的圆心， $Q$ 为 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点连线的中点，已知直线 $P Q$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = t^{3} + a \\ y = \frac{b}{2} t^{3} + 1 \end{cases} (t \in R 为参数)$ ,求 $a, b$ 的值.

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