已知都是实数，且求证：。-优题课

已知以原点 $O$ 为中心的椭圆的一条准线方程为 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ,离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $M$ 是椭圆上的动点.
（Ⅰ）若 $C, D$ 的坐标分别是 $(0, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$ ,求 $|M C| \cdot |M D|$ 的最大值；
（Ⅱ）如图,点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ , $B$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上的点, $N$ 是点 $M$ 在 $x$ 轴上的射影,点 $Q$ 满足条件: $\overset{⇀}{O Q} = \overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O N}, \overset{⇀}{Q A} \cdot \overset{⇀}{B A} = 0$ ,求线段 $Q B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程.

如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ 且 $A D ⊥ C D$ ；平面 $C S D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C S ⊥ D S, C S = 2 A D = 2$ ； $E$ 为 $B S$ 的中点， $C E = \sqrt{2}, A S = \sqrt{3}$ 。求：

（Ⅰ）点 $A$ 到平面 $B C S$ 的距离；
（Ⅱ）二面角 $E - C D - A$ 的大小。

如图，已知矩形ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，且AM=AB，将矩形沿MN折成直二面角，若P点是线段DN上一动点，求P到BM距离的最小值。

在四面体ABCD中,AB=AD=,BC=CD=3,AC=,BD=2.
(1)平面ABD与平面BCD是否垂直？证明你的结论；（2）求二面角A-CD-B的正切值。

如图，平面∥，AB和AC是夹在平面与之间的两条线段，AB⊥AC，且AB=2，直线AB与平面所成角为30°，求线段AC长的取值范围。