先化简，再求值：，其中．-优题课

如图，顶点为 $M$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $CD ⊥ y$ 轴交抛物线于另一点 $D$ ，作 $DE ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ，双曲线 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 经过点 $D$ ，连接 $MD$ ， $BD$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $N$ ， $F$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴上的两点，当以 $M$ ， $D$ ， $N$ ， $F$ 为顶点的四边形周长最小时，求出点 $N$ ， $F$ 的坐标；

（3）动点 $P$ 从点 $O$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $OC$ 方向运动，运动时间为 $t$ 秒，当 $t$ 为何值时， $∠ BPD$ 的度数最大？（请直接写出结果）

[问题探究]

（1）如图1， $ΔABC$ 和 $ΔDEC$ 均为等腰直角三角形， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ，点 $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上，连接 $AD$ ， $BD$ ．

①请探究 $AD$ 与 $BD$ 之间的位置关系：　　；

②若 $AC = BC = \sqrt{10}$ ， $DC = CE = \sqrt{2}$ ，则线段 $AD$ 的长为　　；

[拓展延伸]

（2）如图2， $ΔABC$ 和 $ΔDEC$ 均为直角三角形， $∠ ACB = ∠ DCE = 90 °$ ， $AC = \sqrt{21}$ ， $BC = \sqrt{7}$ ， $CD = \sqrt{3}$ ， $CE = 1$ ．将 $ΔDCE$ 绕点 $C$ 在平面内顺时针旋转，设旋转角 $∠ BCD$ 为 $α (0 ° ⩽ α < 360 °)$ ，作直线 $BD$ ，连接 $AD$ ，当点 $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上时，画出图形，并求线段 $AD$ 的长．

如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边 $OA$ ， $OB$ 可绕点 $O$ 开合，在 $OB$ 边上有一固定点 $P$ ，支柱 $PQ$ 可绕点 $P$ 转动，边 $OA$ 上有六个卡孔，其中离点 $O$ 最近的卡孔为 $M$ ，离点 $O$ 最远的卡孔为 $N$ ．当支柱端点 $Q$ 放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得 $OP$ 的长为 $12 cm$ ， $OM$ 为 $10 cm$ ，支柱 $PQ$ 为 $8 cm$ ．