请观察下列算式，找出规律并填空1，，，则：（1）第10个算式-优题课

某中学为了了解本校学生喜爱的球类运动，在本校范围内随机调查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次一共调查了多少名学生？

（2）补全条形统计图；

（3）求“足球”在扇形统计图中所占圆心角的度数；

（4）若已知该校有500名学生，请你根据调查的结果估计爱好“足球”和“排球”的学生共有多少人？

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）画出 $ΔABC$ 关于 $y$ 轴对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $90 °$ ，画出旋转后得到的△ $A_{2} B C_{2}$ ，并直接写出此过程中线段 $BA$ 扫过图形的面积（结果保留 $π)$

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 的开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2})$

（1）若此抛物线经过点 $B (2, - \frac{1}{2})$ ，且与 $x$ 轴相交于点 $E$ ， $F$ ．

①填空： $b =$ 　　（用含 $a$ 的代数式表示）；

②当 $E F^{2}$ 的值最小时，求抛物线的解析式；

（2）若 $a = \frac{1}{2}$ ，当 $0 ⩽ x ⩽ 1$ ，抛物线上的点到 $x$ 轴距离的最大值为 3 时，求 $b$ 的值．

如图1，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $OB = OD$ ， $OC = OA + AB$ ， $AD = m$ ， $BC = n$ ， $∠ ABD + ∠ ADB = ∠ ACB$ ．

（1）填空： $∠ BAD$ 与 $∠ ACB$ 的数量关系为　 $∠ BAD + ∠ ACB = 180 °$ 　；

（2）求 $\frac{m}{n}$ 的值；

（3）将 $ΔACD$ 沿 $CD$ 翻折，得到△ $A' CD$ （如图 $2)$ ，连接 $BA'$ ，与 $CD$ 相交于点 $P$ ．若 $CD = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ ，求 $PC$ 的长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC = 3$ ， $BC = 4$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $AC$ ， $BC$ 上（点 $D$ 与点 $A$ ， $C$ 不重合），且 $∠ DEC = ∠ A$ ，将 $ΔDCE$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到△ $DC' E'$ ．当△ $DC' E'$ 的斜边、直角边与 $AB$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ （点 $P$ 与点 $Q$ 不重合）时，设 $CD = x$ ， $PQ = y$ ．

（1）求证： $∠ ADP = ∠ DEC$ ；

（2）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围．