心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了-优题课

题文

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）

（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（Ⅲ）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E （X）．
附表及公式

科目数学题型解答题难度较难

知识点：随机思想的发展

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甲厂以 $x$ 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 $1 \leq x \leq 10$ ），每小时可获得利润是 $100 (5 x + 1 - \frac{3}{x})$ 元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求 $x$ 的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ , $A D = 1$ , $A_{1} A = 1$ ，证明直线 $B C_{1}$ 平行于平面 $D A_{1} C$ ，并求直线 $B C_{1}$ 到平面 $D_{1} A C$ 的距离.

给定常数 $c > 0$ ,定义函数 $f (x) = 2 |x + c + 4| - |x + c|$ ,数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n}), n \in N^{*}$ .
（1）若 $a_{1} = - c - 2$ ,求 $a_{2}$ 及 $a_{3}$ ；
（2）求证:对任意 $n \in N^{*}, a_{n + 1} - a_{n} \geq c$ ；
（3）是否存在 $a_{1}$ ,使得 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 成等差数列？若存在,求出所有这样的 $a_{1}$ ,若不存在,说明理由.

已知函数 $f (x), x \in R$ .
(Ⅰ) 若直线 $y = k x + 1$ 与 $f (x)$ 的反函数的图像相切, 求实数 $k$ 的值;
(Ⅱ) 设 $x > 0$ , 讨论曲线 $y = f (x)$ 与曲线 $y = m^{} x^{2} (m > 0)$ 公共点的个数.
(Ⅲ) 设 $a < b$ , 比较 $\frac{f (a) + f (b)}{2}$ 与 $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小, 并说明理由.

已知动圆过定点 $A (4, 0)$ , 且在 $y$ 轴上截得的弦 $M N$ 的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 $C$ 的方程;
(Ⅱ) 已知点 $B (－ 1, 0)$ , 设不垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与轨迹 $C$ 交于不同的两点 $P, Q$ , 若 $x$ 轴是 $∠ P B Q$ 的角平分线, 证明直线 $l$ 过定点.

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