如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm，求正-优题课

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点， $DE ⊥ AC$ 于 $E$ ， $DF ⊥ AB$ 于 $F$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并证明你的结论；

（2）若 $OF = 4$ ，求 $AC$ 的长度．

如图，直线 $y = k_{1} x + 7 (k_{1} < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象在第一象限交于 $C$ 、 $D$ 两点，点 $O$ 为坐标原点， $ΔAOB$ 的面积为 $\frac{49}{2}$ ，点 $C$ 横坐标为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果一个点的横、纵坐标都是整数，那么我们就称这个点为“整点”，请求出图中阴影部分（不含边界）所包含的所有整点的坐标．

绵阳七一中学开通了空中教育互联网在线学习平台，为了解学生使用情况，该校学生会把该平台使用情况分为 $A$ （经常使用）、 $B$ （偶尔使用）、 $C$ （不使用）三种类型，并设计了调查问卷、先后对该校初一（1）班和初一（2）班全体同学进行了问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

（1）求此次被调查的学生总人数；

（2）求扇形统计图中代表类型 $C$ 的扇形的圆心角，并补全折线统计图；

（3）若该校初一年级学生共有1000人，试根据此次调查结果估计该校初一年级中 $C$ 类型学生约有多少人．

已知如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别为坐标轴上的三个点，且 $OA = 1$ ， $OB = 3$ ， $OC = 4$ ，

（1）求经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系 $xOy$ 中是否存在一点 $P$ ，使得以点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $P$ 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $M$ 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当 $| PM - AM |$ 的最大值时点 $M$ 的坐标，并直接写出 $| PM - AM |$ 的最大值．

如图， $ΔABC$ 和 $ΔBEC$ 均为等腰直角三角形，且 $∠ ACB = ∠ BEC = 90 °$ ， $AC = 4 \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为线段 $BE$ 延长线上一点，连接 $CP$ 以 $CP$ 为直角边向下作等腰直角 $ΔCPD$ ，线段 $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$

（1）求证： $\frac{PC}{CD} = \frac{CE}{CB}$ ；

（2）连接 $BD$ ，请你判断 $AC$ 与 $BD$ 有什么位置关系？并说明理由；

（3）设 $PE = x$ ， $ΔPBD$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式．