操作：准备一张长方形纸，按下图操作：（1）把矩形ABCD对折-优题课

已知 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $BC$ 、 $AC$ 边上，连接 $BE$ 、 $AD$ 交于点 $P$ ，设 $AC = kBD$ ， $CD = kAE$ ， $k$ 为常数，试探究 $∠ APE$ 的度数：

（1）如图1，若 $k = 1$ ，则 $∠ APE$ 的度数为　　；

（2）如图2，若 $k = \sqrt{3}$ ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出 $∠ APE$ 的度数．

（3）如图3，若 $k = \sqrt{3}$ ，且 $D$ 、 $E$ 分别在 $CB$ 、 $CA$ 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

如图， $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $PA$ 、 $PB$ 是 $⊙ O$ 的两条切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $PO$ 交 $AB$ 于点 $F$ ，延长 $BO$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，交 $PA$ 的延长交于点 $Q$ ，连接 $AC$ ．

（1）求证： $AC / / PO$ ；

（2）设 $D$ 为 $PB$ 的中点， $QD$ 交 $AB$ 于点 $E$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3， $CQ = 2$ ，求 $\frac{AE}{BE}$ 的值．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5 = 0 (m \neq 0)$ ．

（1）求证：无论 $m$ 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线 $y = m x^{2} + (1 - 5 m) x - 5$ 与 $x$ 轴交于 $A (x_{1}$ ， $0)$ 、 $B (x_{2}$ ， $0)$ 两点，且 $| x_{1} - x_{2} | = 6$ ，求 $m$ 的值；

（3）若 $m > 0$ ，点 $P (a, b)$ 与 $Q (a + n, b)$ 在（2）中的抛物线上（点 $P$ 、 $Q$ 不重合），求代数式 $4 a^{2} - n^{2} + 8 n$ 的值．

某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 $y (^{°} C)$ 与时间 $x (h)$ 之间的函数关系，其中线段 $AB$ 、 $BC$ 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 $CD$ 表示恒温系统关闭阶段．

请根据图中信息解答下列问题：

（1）求这天的温度 $y$ 与时间 $x (0 ⩽ x ⩽ 24)$ 的函数关系式；

（2）求恒温系统设定的恒定温度；

（3）若大棚内的温度低于 $10^{°} C$ 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．

（1）收集数据

从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩（百分制）如下：

甲班65 75 75 80 60 50 75 90 85 65

乙班90 55 80 70 55 70 95 80 65 70

（2）整理描述数据

按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

成绩 $x$

人数

班级

$50 ⩽ x < 60$

$60 ⩽ x < 70$

$70 ⩽ x < 80$

$80 ⩽ x < 90$

$90 ⩽ x ⩽ 100$

甲班

1

3

2

1

乙班

2

1

$m$

2

$n$

在表中： $m =$ 　　， $n =$ 　　．

（3）分析数据

①两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

班级	平均数	中位数	众数
甲班	72	$x$	75
乙班	73	70	$y$

在表中： $x =$ 　　， $y =$ 　　．

②若规定测试成绩在80分（含80分）以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有　　人．

③现从甲班指定的2名学生 $(1$ 男1女），乙班指定的3名学生 $(2$ 男1女）中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用树状图和列表法求抽到的2名同学是1男1女的概率．