如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作-优题课

如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：

（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点坐标是________；
（3）△ABC的周长=_________（结果保留根号）；
（4）画出△ABC关于关于y轴对称的△A′B′C′．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：坐标与图形变化-旋转

（1）问题发现

如图1，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $OA = OB$ ， $OC = OD$ ， $∠ AOB = ∠ COD = 40 °$ ，连接 $AC$ ， $BD$ 交于点 $M$ ．填空：

① $\frac{AC}{BD}$ 的值为　　；

② $∠ AMB$ 的度数为　　．

（2）类比探究

如图2，在 $ΔOAB$ 和 $ΔOCD$ 中， $∠ AOB = ∠ COD = 90 °$ ， $∠ OAB = ∠ OCD = 30 °$ ，连接 $AC$ 交 $BD$ 的延长线于点 $M$ ．请判断 $\frac{AC}{BD}$ 的值及 $∠ AMB$ 的度数，并说明理由；

（3）拓展延伸

在（2）的条件下，将 $ΔOCD$ 绕点 $O$ 在平面内旋转， $AC$ ， $BD$ 所在直线交于点 $M$ ，若 $OD = 1$ ， $OB = \sqrt{7}$ ，请直接写出当点 $C$ 与点 $M$ 重合时 $AC$ 的长．

某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量 $y$ （个 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：

销售单价 $x$ （元 $)$	85	95	105	115
日销售量 $y$ （个 $)$	175	125	75	$m$
日销售利润 $w$ （元 $)$	875	1875	1875	875

（注：日销售利润 $=$ 日销售量 $\times$ （销售单价 $-$ 成本单价） $)$

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式（不要求写出 $x$ 的取值范围）及 $m$ 的值；

（2）根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是　　元，当销售单价 $x =$ 　　元时，日销售利润 $w$ 最大，最大值是　　元；

（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上 $A$ ， $B$ 两点间的距离为 $90 cm$ ．低杠上点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离 $CE$ 的长为 $155 cm$ ，高杠上点 $D$ 到直线 $AB$ 的距离 $DF$ 的长为 $234 cm$ ，已知低杠的支架 $AC$ 与直线 $AB$ 的夹角 $∠ CAE$ 为 $82.4 °$ ，高杠的支架 $BD$ 与直线 $AB$ 的夹角 $∠ DBF$ 为 $80.3 °$ ．求高、低杠间的水平距离 $CH$ 的长．（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据 $\sin 82.4 ° \approx 0.991$ ， $\cos 82.4 ° \approx 0.132$ ， $\tan 82.4 ° \approx 7.500$ ， $\sin 80.3 ° \approx 0.983$ ， $\cos 80.3 ° \approx 0.168$ ， $\tan 80.3 ° \approx 5.850)$

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $DO ⊥ AB$ 于点 $O$ ，连接 $DA$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $DO$ 于点 $E$ ，连接 $BC$ 交 $DO$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE = EF$ ；

（2）连接 $AF$ 并延长，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ．填空：

①当 $∠ D$ 的度数为　　时，四边形 $ECFG$ 为菱形；

②当 $∠ D$ 的度数为　　时，四边形 $ECOG$ 为正方形．

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象过格点（网格线的交点） $P$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在图中用直尺和 $2 B$ 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 $O$ ，点 $P$ ；

②矩形的面积等于 $k$ 的值．